E. Gudavičius gimė 1929 metais rugsėjo 6 dieną Kaune.
1948–1953 m. studijavo Kauno politechnikos institute. 1962–1968 m. studijavo Vilniaus universitete.
1970 m. baigė neakivaizdinę aspirantūrą Vilniaus universitete. 1974–1995 m. Lietuvos istorijos instituto mokslo darbuotojas. 1975–2012 m. Vilniaus universiteto Istorijos fakulteto dėstytojas.
Nuo 1991 m. – Lietuvos mokslų akademijos tikrasis narys (akademikas), Lietuvos piliečių chartijos narys.
Profesorius E. Gudavičius 1995 metais tapo Nacionalinės mokslo premijos laureatu už Pirmojo Lietuvos statuto tyrimus.
1998 metais kartu su Alfredu Bumblausku apdovanoti Lietuvos nacionalinės kultūros ir meno premija už „Butovės slėpinių“ laidą. Pirmoji „Būtovės slėpinių“ laida pasirodė 1993 m. Laidoje istorikai kalbėjo apie Lietuvos valstybės atsiradimą.